Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc.

Giả sử sau một khoảng thời gian D t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là D thì theo định nghĩa gia tốc trung bình _tb trong khoảng thời gian D t là :

Khi tiến đến giới hạn, cho D t® 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một điểm trên quĩ đạo :

Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc :

Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm. Lấy một điểm P bất kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đường tròn. Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn mới. Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M. Bán kính R của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M. Giá trị nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.

Cần lưu ý rằng tại các điểm khác nhau thì quĩ đạo có thể có các bán kính cong và độ cong khác nhau.

Ví dụ khi quĩ đạo là một đường thẳng thì bán kính cong R = ¥ và do đó độ cong K của nó bằng 0.

Ta có :

ta hãy tính .

Ta có thể viết được như sau : ==

vì rằng =và =v. Còn lại ta phải tính .

Vì rằng là một vectơ đơn vị nên ÷ ÷ ² =1, do đó khi lấy vi phân biểu thức này ta được 2d= 0, điều này chứng tỏ vuông góc với d hay d hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét vì hướng theo phương tiếp tuyến. Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét và có chiều hướng về chiều lõm của đường cong thì d và có cùng phương và chiều. Vấn đề còn lại là tính độ lớn của d.

Khi ₁ rất gần với ₂ thì có thể xem dây cung d bằng cung tròn dt , do đó ta có dt = ½ t _2½ dj = dj . Vậy ta có thể viết =.

Cuối cùng ta viết lại (*) như sau :

(I.9) chứng tỏ rằng gia tốc gồm có hai thành phần : một thành phần hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo (dv/dt), gọi là gia tốc tiếp tuyến, và một thành phần hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo, gọi là gia tốc pháp tuyến.

Ta ký hiệu :

Từ các biểu thức của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta thấy rõ ý nghĩa vật lý của các thành phần này của gia tốc toàn phần :

Gia tốc tiếp tuyến _t đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vận tốc theo thời gian còn gia tốc pháp tuyến _n đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vận tốc theo thời gian.

Để làm sáng tỏ ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến , ta hãy xét hai ví dụ sau :

Xét một chất điểm chuyển động thẳng có gia tốc. Trong trường hợp này vì bán kính cong R = ¥ nên từ biểu thức của gia tốc pháp tuyến ta thấy ngay nó luôn bằng 0 do đó chất điểm chỉ có gia tốc tiếp tuyến nghĩa là vận tốc của chất điểm chỉ có thay đổi về độ lớn còn không thay đổi phương.

Ta xét một chuyển động tròn đều. Trường hợp này, do vận tốc không đổi về độ lớn nên (dv/dt) = 0 và do đó gia tốc tiếp tuyến của chất điểm bằng 0, nhưng do vận tốc thay đổi phương liên tục trong khi chuyển động nên gia tốc pháp tuyến khác 0 : gia tốc toàn phần của chất điểm bằng gia tốc pháp tuyến và khác 0.