Dong luc hoc chat diem

II.3. Các bài toán động lực học :

Trong tiết này chúng ta sẽ áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn để giải các bài toán động lực học. Trong động lực học người ta chia làm hai loại bài toán sau đây :

Bài toán thuận của động lực học là : biết chuyển động của chất điểm, xác định lực gây ra chuyển động.

Bài toán ngược của động lực học là : biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều kiện ban đầu của chuyển động, xác định chuyển động của chất điểm.

II.3.1.Bài toán thuận của động lực học :

Để giải loại bài toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ áp dụng công thức (II.1b) để tìm lực tác dụng lên chất điểm.

Ví dụ 1 : Kéo một gầu nước từ dưới giếng lên cao nhanh dần với gia tốc là . Hãy xác định lực kéo.

Ta biết lực tác dụng tổng cộng lên gầu gồm lực kéo _k và trọng lượng =m của gầu. Theo định luật II Niu-tơn và để ý rằng hai lực này ngược chiều nhau nên ta có :

F_k-mg = ma

Từ đó : F_k = m(g+a)

Ta thấy lực kéo phải lớn hơn trọng lượng của gầu, đặc biệt là Fk càng lớn khi gia tốc a càng lớn.

Ví dụ 2 : Một ô-tô trọng lượng P chạy qua một cầu cong bán kính R với vận tốc v. Hãy xác định áp lực mà ô-tô nén lên mặt cầu. Bỏ qua lực ma sát.

Các lực tác động lên ô-tô gồm : trọng lượng của ô-tô và phản lực pháp tuyến của mặt cầu. Trong lượng có thể phân tích thành hai thành phần _t và _n :

Pt= Psina tạo ra gia tốc tiếp tuyến của ô-tô

Pn= Pcosa góp phần tạo ra gia tốc pháp tuyến của ô-tô. Vì và _n ngược chiều nhau nên lực pháp tuyến (lực hướng tâm) :

Pcosa -N = m

Từ đó phản lực pháp tuyến N bằng :

N= Pcosa - m= mg(cosa -)

Áp lực mà ô-tô nén lên mặt cầu theo định luật III Niu-tơn về trị số bằng phản lực pháp tuyến mà mặt cầu tác dụng lên ô-tô. Ta thấy lực nén này luôn nhỏ hơn P và phụ thuộc vào vận tốc ô-tô. Áp lực này lớn nhất tại đỉnh của cầu, tại đó a = 0

II.3.2. Bài toán ngược của động lực học :

Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng chất điểm, sau đó áp dụng (II.1a) tìm gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động cũng như phương trình quĩ đạo của chất điểm.

Ví dụ 1 :

Một hệ gồm hai vật có khối lượng m₁ và m₂ được nối nhau bằng một sợi dây không co dãn. Đầu kia của m₁ nối với một sợi dây khác vắt qua một ròng rọc và nối với một quả nặng m. Giả sử hệ chuyển động không ma sát, khối lượng dây nối và ròng rọc không đáng kể. Hãy xác định chuyển động của hệ.

Gọi là lực căng của sợi dây nối quả nặng m với m₁. Lực mà sợi dây kéo m₁ là còn kéo quả nặng m là -.

Đối với quả nặng m ta có phương trình :

mg-T= ma

gọi ₁ là lực căng của đoạn dây nối m₁ với m₂. Đối với m₁ ta có phương trình :

T-T₁= m₁a

Đối với vật m₂ ta có phương trình chuyển động :

T₁= m₂a

Cộng ba phương trình trên lại với nhau, ta tìm được gia tốc a của hệ :

a =

Cũng có thể tìm ngay được gia tốc a của hệ nếu để ý rằng do sợi dây không co dãn nên có thể xem chuyển động của hệ như là chuyển động của một vật thể thống nhất với khối lượng là (m+m₁+m₂) và lực duy nhất tác động lên hệ là m:

Theo định luật II : a =

Chuyển động của hệ là nhanh dần đều với gia tốc a. Do vậy phương trình chuyển động của hệ là :

s = so+vot+at²

Ví dụ 2:

Một hệ gồm ba vật khối lượng m₁,m₂,m₃ treo trên hai ròng rọc bằng các sợi dây không co dãn như ở hình bên. Giả sử khối lượng của các ròng rọc và các sợi dây không đáng kể. Bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc. Hãy xác định gia tốc của mỗi vật và lực căng của các sợi dây. Gọi lực căng của các sợi dây lần lượt là ₁, ₂,₃và gia tốc của các vật là ₁, ₂, ₃. Áp dụng công thức cơ bản (II.1b) cho ba vật ta có :

m₁a₁=m₁g-T₁ (1)

m₂a₂=m₂g-T₂ (2)

m₃a₃=m₃g-T₃ (3)

Do ròng rọc không có khối lượng và dây không co dãn nên dễ dàng suy ra rằng:

T₂=T₃(4)

T₁=T₂+T₃(5)

Để giải được bài toán ta cần tìm thêm một phương trình nữa vì rằng ta có 6 ẩn số là a₁, a₂, a₃, T₁, T₂, T₃ nhưng ta mới có 5 phương trình. Ta nhận xét rằng do các vật bị nối với nhau qua các sợi dây nên chuyển động của chúng tất nhiên có sự ràng buộc lẫn nhau, nói cách khác giữa các gia tốc của chúng phải có mối quan hệ với nhau. Ta tìm mối quan hệ đó. Chọn chiều dương của trục Ox hướng xuống dưới như ở hình. Gốc tọa độ (vị trí O) được chọn là ròng rọc thứ nhất vì vị trí đó không thay đổi theo thời gian. Vị trí của m₁ là x₁, m₂ là x₂, m₃ là x₃; của ròng rọc thứ hai là xo. Gọi r là bán kính của ròng rọc. Do các sợi dây l₁ và l₂khôngco dãn nên ta có các phương trình biểu diễn độ dài của các sợi dây như sau :