Xét một chất điểm khối lượng m gắn ở đầu một lò xo, đầu kia của lò xo được cố định tại một điểm ở trên tường. Ơ trạng thái tự do của lò xo giả sử chất điểm ở vị trí cân bằng O của trục Ox. Khi ta dùng một lực nén _nén để nén lò xo và giả sử khi đó chất điểm dịch chuyển được một đoạn . Khi lò xo bị nén thì bên trong lò xo xuất hiện một lực đàn hồi _đh có xu hướng chống lại độ biến dạng và đưa chất điểm trở lại vị trí cân bằng.

Theo định luật Hooke ta có thể biểu diễn :

Trong đó k là hệ số đàn hồi của lò xo có giá trị dương. Dấu trừ chứng tỏ lực đàn hồi ngược chiều với chiều biến dạng và có xu hướng đưa chất điểm trở lại vị trí cân bằng.

Nếu ta nén lò xo từ từ sao cho chất điểm dịch chuyển rất chậm, nghĩa là không có gia tốc thì ta có thể coi lực nén _nén có độ lớn bằng lực đàn hồi, tức là :

Ta hãy tính công mà lực _nén thực hiện khi nén lò xo làm cho chất điểm dịch chuyển từ vị trí 0 đến vị trí x_max nào đó :

Công vi phân :

Từ đó tính công

Lực nén thực hiện một công A dương và công này được truyền cho chất điểm gắn ở đầu lò xo. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì chất điểm nhận công A và chuyển thành một dạng năng lượng dự trữ nào đó.

Thật vậy, nếu ta buông tay (tức là lực nén không còn tác dụng lên chất điểm nữa) thì lực đàn hồi _đh sẽ tác dụng vào chất điểm và làm tăng vận tốc của chất điểm đưa nó quay về vị trí cân bằng O. Ở vị trí cân bằng lúc này chất điểm có vận tốc _o và do đó có động năng K= . Lưu ý rằng ban đầu khi ở vị trí cân bằng chất điểm hoàn toàn không có một năng lượng cơ học nào cả. Vậy ta tự hỏi động năng của chất điểm từ đâu mà có? Câu trả lời là khi lò xo bị biến dạng thì nó có một thế năng :

Lò xo có thế năng khi nó bị biến dạng. Một khối khí nén cũng có thế năng vì khi dãn nở khối khí có khả năng sinh công. Dưới tác dụng của lực hấp dẫn của quả đất, một búa máy được nâng lên cao có khả năng sinh công khi rơi xuống thấp. Nước ở hồ trên núi cao có khả năng sinh công khi chảy xuống thấp.

Trong ví dụ lò xo cũng như ví dụ búa máy ta thấy lực tác dụng lên vật chỉ phụ thuộc vào vị trí vật, nói cách khác nó chỉ là một hàm xác định nào đó của tọa độ của vật. Trong trường hợp đó, ta nói vật chịu tác dụng của một trường lực.

Ta hãy tính công mà trọng lực thực hiện khi làm dịch chuyển chất điểm m từ vị trí P ứng với độ cao hp đến vị trí Q ứng với độ cao hq.

Giả sử chất điểm dịch chuyển theo đường cong PMQ (xem hình dưới). Ta chia đoạn đường PQ thành các dịch chuyển vi phân = MM’. Trên đoạn đường MM’ trọng lực thực hiện công vi phân :

Trong đó trọng lực = -m (dấu trừ vì trọng lực hướng theo chiều từ trên xuống dưới ngược chiều với trục thẳng đứng), dh là hình chiếu của lên phương của trọng lực. Lưu ý rằng vì dh < 0 nên dA = -mgdh > 0 .

Từ đó tính công :

Biểu thức trên chứng tỏ rằng công A_PQ chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu hP và cuối hQ mà không phụ thuộc vào dạng cụ thể của đường đi.

Người ta gọi một trường lực mà công do trường lực đó thực hiện chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và cuối của đường đi mà không phụ thuộc vào dạng đường đi là một trường thế.

Có thể thấy rằng trường trọng lực, trường lực của lò xo, điện trường đều là các trường thế.

Một tính chất quan trọng của trường thế là công làm dịch chuyển chất điểm theo một đường cong kín trong trường thế thì luôn bằng không. Thật vậy :

Nhưng         A_QP = A_QNP = -A_PNQ = -A_PQ

Vậy              A_PMQNP = A_PQ – A_PQ = 0

Xét một trường thế. Trong trường thế ta chọn một điển O có tọa độ (xo, yo, zo) làm gốc để tính thế năng (tức là qui ước thế năng tại O bằng không). Ta hãy tính công AMO khi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí M có tọa độ (x, y, z) đến vị trí O.

Từ những điều đã trình bày ở trên, ta biết rằng công AMO chỉ là hàm của tọa độ (xo, yo, zo) và (x, y, z) :

Trong đó ta ký hiệu U là một hàm nào đó của biến trên.

Vì rằng điểm O là một điểm chọn trước và cố định (điểm O không phải là biến) nên các tọa độ xo, yo, zo là những hằng số nên U chỉ còn là hàm của các tọa độ x, y, z :

U được gọi là hàm thế năng (gọi tắt là thế năng) của chất điểm tại vị trí M(x, y, z) trong trường thế.

Vậy ta có thể định nghĩa thế năng :

Việc chọn điểm gốc để tính thế năng là hoàn toàn tùy ý. Thật vậy, nếu ta chọn một điểm O’ khác làm gốc thì theo định nghĩa (II.26), thế năng tại điểm M(x, y, z) đối với gốc O’ là :

Biểu thức trên chứng tỏ thế năng tại điểm M lấy đối với gốc O’ là U’(x, y, z) chỉ khác với thế năng tại điểm đó nhưng lấy đối với gốc O là U(x, y, z) một hằng số là AOO_’. Vì vậy người ta nói rằng hàm thế năng được xác định sai kém một hằng số. Việc hàm thế năng xác định không đơn trị không ảnh hưởng gì đến kết quả tính toán vì rằng trong thực tế ta chỉ tính hiệu thế năng tại hai điểm trong trường thế. Thật vậy :

Vì gốc thế năng có thể chọn tùy ý nên tùy theo từng trường hợp cụ thể ta có thể chọn gốc thế năng sao cho thuận tiện nhất khi tính toán.

Ta hãy tính công làm dịch chuyển chất điểm từ M đến N là hai điểm khác nhau trong trường thế.

Vì công thực hiện trong trường thế chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc vào dạng đường đi nên :

Nhưng   A_ON = -A_NO = - U(N) nên :

(II.27) chứng tỏ rằng :

Định lý này gọi là định lý về thế năng.