Hai loại lực bảo toàn mà chúng ta khá quen thuộc là lực hấp dẫn và lực đàn hồi.

Với lực hấp dẫn của quả đất, nếu chọn trục thẳng đứng hướng từ dưới lên trên là trục Oy thì Fy = -mg và thế năng hấp dẫn U(y) = mgy. Với lực đàn hồi của lò xo thì F_x = -kx còn thế năng đàn hồi là U(x) = kx². Trong tiết này chúng ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các lực bảo toàn (lực thế) và hàm thế năng tương ứng của chúng.

Vấn đề được đặt ra ở đây là : cho trước biểu thức của hàm thế năng chúng ta sẽ phải tìm ra biểu thức của lực tương ứng.

*Trước tiên chúng ta hãy xét trường hợp đơn giản nhất : vật chuyển động theo đường thẳng dọc theo trục Ox. Chúng ta giả sử rằng thành phần x của lực tác dụng là một hàm của x, tức là F_x(x), còn thế năng ta gọi là U(x) cũng là hàm của x.

Từ định lý thế năng ta biết rằng công thực hiện trong một trường thế bằng độ giảm của thế năng, tức là :

Chúng ta hãy áp dụng điều nói trên trong trường hợp một dịch chuyển nhỏ D x. Công mà lực F_x(x) thực hiện trên đoạn đường đó có thể xem gần đúng là F_x(x)D x. Chúng ta nói "gần đúng” vì rằng lực F_x(x) có thể hay đổi chút ít trong quãng đường dịch chuyển đó.

Vậy :

Khi tiến đến giới hạn D x® 0 chúng ta có hệ thức chính xác :

Có thể nghiệm lại công thức (II.31) trong trường hợp lò xo :

*Bây giờ ta mở rộng kết quả (II.31) cho trường hợp ba chiều. Vật bây giờ có thể chuyển động theo quĩ đạo bất kỳ theo các phương Ox, Oy và Oz. Lực tác dụng lên vật khi đó có các thành phần F_x, F_y, F_z . Mỗi thành phần trên có thể là hàm của các tọa độ x, y, z. Hàm thế năng U cũng là hàm của ba tọa độ trên, tức là U(x, y, z).

Chúng ta có thể áp dụng (II.31) để tìm từng thành phần của lực. Sự thay đổi của thế năng DU khi vật chuyển dịch một đoạn D x theo phương x dĩ nhiên được cho bởi -F_xDx; nó không phụ thuộc vào F_y và F_z vì các lực này tác dụng theo phương vuông góc với dịch chuyển Dx nên không sinh công. Vậy chúng ta có :

Các thành phần Fy và Fz cũng được xác định theo một cách hoàn toàn giống như trên, tức là :

Khi cho tiến đến giới hạn D x® 0, D y® 0, D z® 0 thì các biểu thức trên trở thành các đạo hàm riêng :

Vậy chúng ta có thể biểu diễn lực tác dụng lên vật dưới dạng vectơ :

Trong đó ,, là các vectơ đơn vị dọc theo các trục Ox, Oy, Oz , còn toán tử :

gọi là gradient. Ta có thể thấy rõ là hướng theo phương tiếp tuyến của đường cong biểu diễn U và có chiều là chiều giảm của U. Có thể nghiệm lại (II.32) đối với trường hợp của lực hấp dẫn U= mgy.