II.13. Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi. Chuyển động của con tàu vũ trụ :
Có những vật có khối lượng thay đổi trong quá trình chuyển động : mất bớt một phần khối lượng hay ngược lại bổ sung thêm một phần khối lượng. Oâtô tưới nước khi đi tưới nước có khối lượng giảm dần theo thời gian. Máy gặt đập liên hợp khi làm việc có khối lượng tăng dần theo thời gian. Tuy vậy, trong hai chuyển động trên sự thêm bớt khối lượng chưa giữ vai trò chủ yếu chi phối chuyển động.
Con tàu vũ trụ hay tên lửa khi chuyển động phụt một khối nhiên liệu đã cháy ra phía sau còn bản thân con tàu hay tên lửa chịu tác dụng của một phản lực hướng tới phía trước và do đó có vận tốc tăng dần trong khi khối lượng của chúng giảm dần. Sự giảm khối lượng trong trường hợp này chi phối mạnh đến chuyển động của vật vì vậy trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của con tàu vũ trụ.
Giả sử ở thời điểm ban đầu (t= 0) con tàu có khối lượng là Mo (khối lượng của bản thân con tàu và nhiên liệu chứa trong con tàu lúc đó) và có vận tốc
. Trong mỗi đơn vị thời gian con tàu đã phụt ra một khối nhiên liệu đã cháy có khối lượng là a
và vận tốc là - đối với con tàu. Ơû thời điểm t, khối lượng con tàu là M và vận tốc của nó là
đối với hệ qui chiếu đứng yên (quả đất). Ta hãy tìm phương trình chuyển động của con tàu.
Đối với hệ qui chiếu đứng yên thì vận tốc của khối nhiên liệu đã cháy và phụt ra phía sau là (-+).
Trong khoảng thời gian dt , khối lượng của con tàu giảm một lượng là dm=a dt và động lượng của khối khí thay đổi một lượng là :
d
= (-+)dm = (-+)a
dt
Do động lượng của hệ (gồm con tàu và nhiên liệu phụt ra) là một đại lượng bảo toàn nên ta suy ra trong khoảng thời gian dt biến thiên động lượng của con tàu là - d.
Như vậy :
d(M) = -d = -a
(-+)dt
hay : M
+
= a
- a
Để ý rằng
= -a
ta thu đuợc phương trình (dấu "-" vì M giảm theo thời gian)
M= a
(II.33)
Phương trình (II.33) là phương trình chuyển động của con tàu vũ trụ và gọi là phương trình Mêsecxki được tìm ra năm 1897.
Trong trường hợp con tàu vũ trụ do
và
o cùng phương và ngược chiều nên phương trình vectơ (II.33) có thể viết dưới dạng :
M
= a
vo= -vo
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên từ 0 đến t và để ý đến các điều kiện ban đầu (tại t = 0) v = vo và M = Mo ta thu được :
= -vo
hay :v-vo = -vo(lnM-lnMo) = voln
v = vo(1+ln) (II.34)
Đặt to
=
là thời gian ngoại suy để con tàu mất hết khối lượng và ngoài ra để ý rằng khối lượng con tàu ở thời điểm t là M = Mo-a
t = a
(to-t) thì ta có thể viết (II.34) lại dưới dạng :
v = vo[1+ln
]= vo(1+ln
) (II.35)
Từ (II.35) ta nhận thấy vận tốc của con tàu tăng dần theo thời gian. Muốn tăng nhanh vận tốc của con tàu thì từ (II.34) ta thấy cần phải tăng nhanh tỉ số Mo/M. Phương pháp được dùng hiện nay là xây dựng những tên lửa nhiều tầng, loại bỏ dần những thiết bị đã làm xong nhiệm vụ để giảm nhanh khối lượng M còn lại.
Các tính toán ở trên đã bỏ qua tác dụng của lực hút của quả đất và sức cản của không khí. Các tính toán chính xác hơn cần phải tính đến các yếu tố trên.