Xét hai hệ qui chiếu K và K’. Hệ qui chiếu K là một hệ qui chiếu quán tính đứng yên còn hệ qui chiếu K’ là hệ qui chiếu chuyển động thẳng đối với hệ qui chiếu K với vận tốc . Để cho đơn giản chúng ta giả thiết K’ chuyển động theo phương OX của hệ qui chiếu K. Giả sử tại thời điểm ban đầu, gốc O và O’ trùng nhau.

Xét một điểm M trong không gian, tọa độ của nó trong hai hệ qui chiếu là (x, y, z) và (x’, y’, z’). Ta tìm mối quan hệ giữa chúng.

Từ hình bên, ta có :

Ngược lại :

Các biểu thức (II.36a) và (II.36b) gọi là phép biến đổi Galilê về tọa độ không gian và thời gian. Thật vậy, từ (II.36) ta thấy theo cơ học cổ điển thì thời gian trôi như nhau trong hai hệ qui chiếu (điều này thể hiện ở đẳng thức t = t’) hay nói cách khác theo cơ học cổ điển thời gian không phụ thuộc hệ qui chiếu. Đó là tính tuyệt đối của thời gian.

Đối với không gian , thì cơ học cổ điển cũng chỉ rõ tính tương đối của không gian. Chúng ta hãy làm sáng tỏ điều này. Giả sử ở trong hệ qui chiếu K có hai sự kiện xảy ra ở hai tọa độ x₁ và x₂ nhưng ở các thời điểm khác nhau t₁ và t₂.

Như vậy theo phép biến đổi Galilê (II.36b) thì ở trong hệ qui chiếu chuyển động K’ hai sự kiện xảy ra tại các thời điểm t₁’= t₁ và t₂’= t₂ và tại các tọa độ x₁’= x₁-vt₁, và x₂’= x₂-vot₂. Nếu gọi khoảng cách giữa hai sự kiện ở trong hệ qui chiếu K là l= x₂-x₁ thì ở trong hệ qui chiếu K’ khoảng cách của hai sự kiện là :

Biểu thức chứng tỏ :

Như vậy khoảng cách giữa các sự kiện phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ qui chiếu, đó là tính chất tương đối của không gian.

Ta có thể lấy ví dụ đơn giản để mô tả tính chất tương đối của không gian : hai bữa ăn sáng và chiều trên một đoàn tàu có thể xảy ra ở cùng một chỗ (ví dụ trên toa ăn của đoàn tàu) nhưng đối với hệ qui chiếu là nhà ga nào đó thì hai bữa ăn đó xảy ra cách nhau hàng trăm kilômét.

Giả sử trong hệ qui chiếu đứng yên K ta có một cái thước đặt nằm dọc theo trục OX mà các tọa độ của các điểm đầu và cuối của nó là x₁ và x₂. Như vậy độ dài của thước trong hệ K là l= x₂ -x₁. trong hệ qui chiếu chuyển động K’ độ dài của thước là :

Như vậy độ dài của thước là như nhau trong hai hệ qui chiếu. Ta nói rằng độ dài là bất biến đối với phép biến đổi Galilê.

Bây giờ ta đề cập đến phép cộng vận tốc và gia tốc :

Lấy đạo hàm theo thời gian (II.36a) ta có :

Tóm lại, ta có qui tắc cộng vận tốc theo cơ học cổ điển :

Đạo hàm theo thời gian một lần nữa biểu thức vận tốc (II.37) ta có phép biến đổi gia tốc :

Trong đó là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K, ’ là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K’ còn là gia tốc của chính hệ qui chiếu K’ đối với hệ qui chiếu K.

Ta xét trong trường hợp riêng của (II.38) : giả sử hệ qui chiếu K’ chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu K, tức là _o= Cte. Khi đó :

Vậy trong trường hợp này ta có :

Nhân hai vế của (II.39) với m là khối lượng của vật, ta có :

Vế trái là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu K còn vế phải là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu K’. Ta nhận thấy rằng phương trình chuyển động của chất điểm có dạng như nhau trong hai hệ qui chiếu. Từ đó ta có thể phát biểu nguyên lý tương đối Galilê như sau:

Các phương trình của chuyển động cơ học là bất biến đối với phép biến đổi Galilê.

Cách phát biểu này mang màu sắc toán học nhiều hơn. Vì vậy ta có thể phát biểu nguyên lý này dưới khía cạnh mang nhiều ý nghĩa vật lý như sau :

Các chuyển động cơ học xảy ra như nhau trong các hệ qui chiếu K và K’. Nhưng vì hệ qui chiếu K theo giả thiết ban đầu là một hệ qui chiếu quán tính nên ta suy ra hệ qui chiếu K’ cũng phải là một hệ qui chiếu quán tính : không có hệ qui chiếu quán tính nào ưu tiên hơn hệ qui chiếu nào; các hệ qui chiếu đều tương đương nhau.

Ta còn có thể phát biểu nguyên lý tương đối Galilê dưới dạng :

Một hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ qui chiếu quán tính cũng là một hệ qui chiếu quán tính.