Giả sử ta có hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu chuyển động thẳng với gia tốc đối với một hệ qui chiếu quán tính đứng yên K. Khi đó theo (II.38), gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K là :

trong đó ’ là gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K’.

Hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu không quán tính do đó về nguyên tắc ta không thể áp dụng được các định luật động lực học của Niu-tơn, tuy nhiên một cách hình thức ta có thể coi ’= m’ là lực tác dụng lên chất điểm trong hệ qui chiếu K’.

Nhân hai vế của phương trình trên với m, ta có :

= m là lực thực tác dụng lên chất điểm và làm cho nó chuyển động với gia tốc trong hệ qui chiếu quán tính K, còn _qt = -m là một lực tác dụng lên chất điểm do chất điểm nằm trong hệ qui chiếu K’ là một hệ qui chiếu không quán tính. Lực này xuất hiện do tính không quán tính của hệ qui chiếu, do đó nó được gọi là lực quán tính. Người ta gọi lực quán tính là lực ảo với ý nghĩa là ta không thể chỉ ra vật cụ thể nào tác dụng lên chất điểm mà ta đang xét. Lực quán tính tác dụng lên mọi vật nằm trong hệ qui chiếu không quán tính. Cần lưu ý rằng lực quán tính có chiều ngược với chiều của gia tốc của hệ qui chiếu K’.

Tóm lại, một vật chuyển động trong hệ qui chiếu không quán tính thì ngoài lực thực, vật còn chịu thêm tác dụng của lực quán tính.

Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu chuyển động thẳng có gia tốc. Chẳng hạn , tất cả hành khách ngồi trên xe bus đều bị lao về phía trước khi xe đột ngột hãm lại. Trong trường hợp này, gia tốc của xe hướng ngược chiều với chiều chuyển động của xe nên lực quán tính _qt = -m cùng chiều với chiều chuyển động. Ngược lại, khi xe đang đứng yên và đột ngột chuyển bánh (gia tốc trong trường hợp này hướng theo chiều chuyển động) thì hành khách bị bật ngửa về phía sau.

Tác dụng của lực quán tính _qt = -m còn gây ra hiện tượng tăng trọng lượng của các nhà du hành vũ trụ khi tên lửa bắt đầu xuất phát vì rằng khi đó gia tốc hướng lên phía trên nên lực quán tính _qt hướng xuống phía dưới và do đó cùng chiều với trọng lượng của nhà du hành. Lực tác dụng tổng cộng lên nhà du hành sẽ lớn hơn trọng lượng của nhà du hành.

Quả đất mà chúng ta đang sống trên đó, tự quay quanh trục của nó với vận tốc góc là 24giờ/vòng. Rõ ràng hệ qui chiếu gắn liền với quả đất không phải là một hệ qui chiếu quán tính. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu các lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu quay.

Giả sử ta có một hệ qui chiếu quán tính đứng yên K và một hệ qui chiếu quay K’ quay quanh trục Oz của hệ qui chiếu K với vận tốc góc không đổi và để cho đơn giản ta gỉa thiết hai gốc tọa độ O và O’trùng nhau và hai trục Oz và O’z’ cũng trùng nhau.

Xét một điểm M là vị trí của chất điểm ở thời điểm t nào đó. Vị trí của M được xác định trong hai hệ qui chiếu K và K’ lần lượt bởi hai bán kính vectơ và ’. Vì hai gốc O và O’ trùng nhau nên ta suy ra =’. Ta có thể biểu diễn :

trong đó x’,y’, z’ là tọa độ của M trong hệ qui chiếu K’, còn ,, là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục O’x’,O’y’,O’z’ của hệ qui chiếu K’. Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta có :

Lưu ý rằng khi hệ qui chiếu K’ quay thì cả x’,y’,z’ và ,, đều thay đổi theo thời gian, vì vậy :

Ở số hạng đầu tiên của vế phải của biểu thức trên ta đã coi ,, là không đổi, tức là trường hợp của quan sát viên đứng trong hệ qui chiếu K’; mặt khác (dx’/dt)=vx’; (dy’/dt)=vy’; (dz’/dt)=vz’ nên số hạng đó là ’ là vận tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu K’.

Muốn tính được số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức trên ta cần tính các đạo hàm theo thời gian của các vectơ đơn vị ,, . Để ý đến công thức (I.13)

Ta có thể suy ra ngay:

Do đó, số hạng thứ hai có thể viết thành :

Vậy tóm lại, ta có biểu thức liên hệ vận tốc của chất điểm trong hai hệ qui chiếu:

Để tìm mối liên hệ của gia tốc của chất điểm trong hai hệ qui chiếu, ta phải lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức (II.41). Ta có:

Số hạng đầu tiên ở vế phải được tính hoàn toàn giống như khi ta tính , tức là :

Số hạng thứ hai ở vế phải tính như sau :

Vậy, tóm lại :

Số hạng cuối cùng ở vế phải của biểu thức trên có thể viết gọn lại như sau :

Hình bên trình bày phương và chiều của các vectơ ,,(´ ) và [´ (´ )] được tính theo quy tắc nhân vectơ . Ta phân tích vectơ bán kính thành hai thành phần: _// và ^ trong đó _// là thành phần song song với trục quay (tức là song song với ) còn ^ là thành phần vuông góc với trục quay.

Ta có :

vì (´ _//) = 0. Để tính độ lớn của [´ (´ )] ta có nhận xét vì vuông góc với (´ ) nên độ lớn của vectơ [´ (´ )] bằng ^ . Từ hình trên ta thấy vì vectơ [´ (´ )] ngược chiều với ^ nên có thể biểu diễn nó dưới dạng :

Cuối cùng, gia tốc của chất điểm trong hệ qui chiếu đứng yên K :

Gia tốc mà chất điểm thu được trong hệ qui chiếu K’:

Nhân hai vế của phương trình trên với khối lượng m của chất điểm, ta tìm được lực tác dụng lên chất điểm trong hệ qui chiếu quay K’ :

Số hạng thứ nhất ở vế phải = m là lực thực tác dụng lên chất điểm, còn hai số hạng còn lại là các lực quán tính xuất hiện do hệ qui chiếu quay K’ không phải là hệ qui chiếu quán tính. Số hạng thứ hai :

gọi là lực Coriolis. Cần lưu ý là lực Coriolis chỉ xuất hiện khi chất điểm chuyển động đối với hệ qui chiếu quay K’ vì rằng từ (II.44) ta thấy _c = 0 khi ’= 0.

Số hạng thứ ba ở vế phải (II.43) gọi là lực ly tâm vì nó hướng từ trục quay ra ngoài theo chiều của vectơ ^ và có xu hướng làm cho chất điểm chuyển động ra xa khỏi tâm trục quay. Lưu ý rằng lực ly tâm tác dụng lên mọi vật ở trong hệ qui chiếu quay dù chúng chuyển động hay đứng yên.

Ta nhận thấy, về độ lớn thì lực ly tâm bằng lực hướng tâm nhưng ngược chiều, do đó chính lực này cân bằng lực hứơng tâm (lực hút của mặt trời) làm cho các hành tinh chuyển động quanh mặt trời mà không rơi vào tâm mặt trời dưới tác dụng của lực hút của mặt trời.

Trái đất tự quay quanh mình biểu hiện như một hệ qui chiếu không quán tính quay do đó mọi vật trên quả đất đều phải chịu tác dụng của các lực quán tính xuất hiện trong hệ qui chiếu quay. Nếu vật đứng yên với quả đất thì vật chỉ chịu tác dụng của lực ly tâm _lt = m^ . Còn nếu vật chuyển động đối với quả đất thì ngoài lực ly tâm vật còn chịu tác dụng của lực Coriolis.

Sau đây là một vài ví dụ thể hiện tác dụng của lực ly tâm và lực Coriolis.

a) Trọng lượng biểu kiến của một vật :

Xét một vật có khối lượng m. Lực hút của quả đất =m hướng vào tâm quả đất. Ngoài ra vật còn chịu tác dụng của lực ly tâm _lt = m^ hướng từ trong trục quay ra ngoài như ở hình bên. Do đó tổng hợp lực ’=+m^ ¹ . Lực ’do đó không hướng đúng vào tâm O của quả đất mà hơi bị lệch đi một ít. Lực ’ cũng còn được gọi là trọng lượng biểu kiến của vật. Ta thấy ở xích đạo trọng lượng biểu kiến của một vật là nhỏ nhất vì ^ là lớn nhất. Trái lại ở các cực của quả đất thì vì ^ =0 nên trọng lượng biểu kiến bằng trọng lượng thực của vật.

b) Sự xói mòn bờ của các con sông do tác dụng của lực Coriolis :

Các con sông (chính xác là nước sông ) là các vật chuyển động đối với quả đất nên chịu tác dụng của lực Coriolis. Chẳng hạn, ta xét một con sông ở bắc bán cầu chảy theo chiều từ bắc xuống nam, tức là chảy dọc theo các đường kinh tuyến. Hình bên trình bày chiều chuyển động của con sông cùng với phương và chiều của lực Coriolis tác dụng lên nước sông. Xuôi theo chiều dòng nước thì bờ bên phải gọi là hữu ngạn, còn bờ bên trái gọi là tả ngạn. Hình bên cho thấy ở bắc bán cầu lực Coriolis tác dụng lên hữu ngạn làm cho bờ này bị xói mòn và do đó bên tả ngạn được bồi đắp. Tương tự, chúng ta có thể giải thích qui luật sau đây của các con sông : ở bắc bán cầu, khi ta xuôi theo dòng nước thì bờ hữu ngạn bị bào mòn; còn ở nam bán cầu, khi xuôi theo dòng nước thì bờ tả ngạn bị bào mòn bởi tác dụng của lực Coriolis.

Hệ qui chiếu gắn liền với quả đất rõ ràng là một hệ qui chiếu không quán tính, tuy nhiên trong những điều kiện nhất định, ta vẫn có thể xem đó là một hệ qui chiếu gần quán tính và ta có thể áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn khi nghiên cứu chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu này. Ta hãy làm rõ điều nói trên.

Ta biết rằng quả đất chuyển động quanh mặt trời theo một quĩ đạo elip gần tròn với bán kính r » 1,5.10⁸km và chuyển động với vận tốc trung bình khoảng 30km/s. từ đó, ta có thể tính được gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm) trong chuyển động này:

Gia tốc này chưa bằng 1/1000 lần gia tốc rơi tự do g, vì vậy ta có thể bỏ qua nó trong nhiều thí nghiệm.

Ngoài ra, quả đất còn tự quay quanh mình nên có gia tốc :

trong đó là vận tốc góc của quả đất khi quay quanh mình. Ta biết quả đất quay một vòng (góc quay là 2p radian) mất 24 giờ, R là bán kính của quả đất vào khoảng 6350km. Từ đó :

Gia tốc này lớn khoảng 6 lần so với an nên dễ dàng cảm nhận được. Vì vậy khi nghiên cứu các chuyển động xảy ra trong một khoảng thời gian dài (ví dụ chuyển động của các tên lửa vượt đại châu, các vệ tinh nhân tạo …) ta không thể xem quả đất là một hệ qui chiếu quán tính được. Tuy nhiên, nếu chuyển động xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn ( ví dụ chuyển động các vật trên mặt đất như ôtô, xe đạp …) thì ta có thể xem hệ qui chiếu gắn với quả đất là một hệ qui chiếu quán tính và ta có thể áp dụng các định luật động lực học của Niu-tơn để giải bài toán này.