Chuyen dong cua vat ran

III.4. Mômen quán tính của các vật :

Như ta đã biết ở III.2.1, mômen quán tính của một hệ chất điểm và của vật rắn được định nghĩa bởi công thức (III.5) :

Từ định nghĩa trên, ta nhận thấy mômen quán tính có tính chất cộng và trừ được. Trong trường hợp của vật rắn, vì vật chất được phân bố một cách liên tục nên ta sẽ thay dấu lấy tổng bằng dấu tích phân, vì vậy mômen quán tính của vật rắn đối với một trục nào đó được tính theo công thức :

I = dm (III.9)

Trong tiết này, chúng ta sẽ áp dụng công thức (III.9) để tính mômen quán tính của một số vật rắn thường gặp.

III.4.1. Mômen quán tính của một số vật rắn :

a/ Mômen quán tính của một thanh đối với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh:

Xét một thanh có chiều dài l và khối lượng m. Ta tính mômen quán tính của thanh đối với trục D đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh. Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox.

Ta chọn yếu tố dm là một đoạn thẳng có các tọa độ điểm đầu là x và điểm cuối là x+dx, tức là có chiều dài dx. Gọi r là khối lượng riêng của thanh (tức là khối lượng tương ứng với một đơn vị chiều dài của thanh) thì dm = r dx.

Thay vào (III.9) ta tìm được :

I ==r l³ =ml² (III.10)

Trong (III.10) ta đã thay r l = m là khối lượng của thanh.

b/ Mômen quán tính của một cái đĩa đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với đĩa :

Ta tính mômen quán tính của đĩa có khối lượng m và bán kính R đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với đĩa. Chọn yếu tố dm là một hình xuyến có bán kính r và độ rộng dr.

Gọi b là chiều dày của đĩa, r là khối lượng riêng của nó thì :

dm = r dV = r bdS

trong đó dS là diện tích của vành tròn; dS tính như sau:

dS = 2p rdr

từ đó :

dm = 2p r brdr

Thay dm vào (III.9), ta tính được :

I = = 2p r b=p r bR⁴ =(p R^2rb)R²

Mặt khác, khối lượng m của đĩa được tính theo công thức :

m = p R^2rb

Thay vào biểu thức của I, ta tìm được :

I = mR²(III.11)

Trong (III.11) ta thấy không có mặt của thông số b là chiều dày của đĩa, do đó công thức này đúng cho đĩa có chiều dày tùy ý, tức là cũng đúng cho trường hợp của hình trụ đặc.

Tương tự, ta cũng có thể tính được mômen quán tính của một hình xuyến có bán kính trong là R₂ và bán kính ngoài là R₁.

Mômen quán tính của hình xuyến :

I = m(R₁²+ R₂²) (III.12)

Khi cho R_2®0 ta lại thu được công thức (III.11) của đĩa và của hình trục đặc còn khi cho R_2®R₁ ta thu được mômen quán tính của hình trụ rỗng :

I = mR₁² = mR² (III.13)

III.4.2. Mômen quán tính của các hình tròn xoay :

Ta gọi các vật tròn xoay là những vật mà bề mặt ngoài của chúng được tạo thành bởi sự quay của một đường cong phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa đường cong đó. Ơû hình trên ta có một hình tròn xoay tạo bởi đường cong f(h) khi nó quay quanh trục Oz. Ta sẽ tính mômen quán tính của hình tròn xoay này đối với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm f(h) và mật độ r . Ta chia vật thành những đĩa mỏng có chiều cao dh. Mômen quán tính của mỗi đĩa được tính theo (III.11) :

dI = dmf² = p r f⁴dh

trong đó dm = p r f ²dh là khối lượng của đĩa.

Từ đó ,ta tính được mômen quán tính của hình tròn xoay :

I = = p r (III.14)

Áp dụng (III.14) ta tính mômen quán tính của hình nón và hình cầu.

a/ Mômen quán tính của hình nón :

Hình nón là hình tròn xoay khi quay đoạn thẳng OA quanh trục Oz. Giả sử hình nón có chiều cao là H và đáy là đường tròn bán kính R. Đối với hình nón thì hàm f(h) có dạng :