III.5.1. Định lư Huyghen-Stênơ :
III.5.1. Định lư Huyghen-Stênơ :
Trong mục III.4, chúng ta thường tính mômen quán tính của các vật đối với trục đi qua khối tâm của vật. Trong trường hợp nếu trục quay D
không đi qua khối tâm của vật thì tính mômen quán tính của vật đối với trục D
ra sao? Để trả lời, chúng ta giả sử trục quay D đi qua điểm A của vật rắn, còn trục thứ hai đi qua khối tâm G và giả sử hai trục này song song với nhau. Hình dưới trình bày một tiết diện S của vật rắn vuông góc với hai trục trên, tức là hai trục quay vuông góc với trang giấy của hình vẽ. Gọi a là khoảng cách giữa hai trục, khoảng cách từ yếu tố dm đến các trục đi qua G và A lần lượt là
và
’. Từ hình vẽ ta có :
’ =
-
do đó :(’)2 = r2 + a2 - 2
Thay vào (III.9), ta có :
IA =
dm =
dm + a2
- 2(
)
Tích phân ở vế trái của biểu thức trên, theo định nghĩa (III.9) là mômen quán tính của vật đối với trục đi qua A. Số hạng thứ nhất ở vế phải là mômen quán tính IG của vật đối với trục đi qua khối tâm G. Số hạng thứ hai có thể viết thành ma2, còn số hạng thứ ba, theo định nghĩa (III.1) của khối tâm có thể viết thành :
=
(mG)
trong đó
G là bán kính vectơ xác định vị trí của khối tâm G đối với trục đi qua khối tâm (chính xác hơn thì
G là hình chiếu của bán kính vectơ xác định khối tâm trên mặt phẳng của hình vẽ)
Nhưng theo giả thiết ban đầu thì trục G chính là trục đi qua khối tâm nên
G = 0. Vì vậy cuối cùng ta có :
IA = IG + ma2 (III.17)
Công thức trên biểu diễn một định lư gọi là định lư Huyghen-Stênơ. Định lư phát biểu như sau :
Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục nào đó bằng mômen quán tính của vật rắn đối với trục song song đi qua khối tâm cộng với tích số của khối lượng vật rắn và bình phương khoảng cách giữa hai trục.
III.5.2. Các ví dụ áp dụng định lư Huyghen-Stênơ :
a/ Mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua tâm của thanh và vuông góc với thanh :
Trung điểm của thanh chính là khối tâm của nó. Gọi IA là mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua một đầu thanh thì theo (III.17) :
IA = IG + m(
)2 = IG + m
Trong đó khoảng cách a giữa hai trục là (l/2). Mặt khác, theo (III.10) ta có :
IA =
Kết hợp với biểu thức trên, ta tìm được :
IG = IA - m =
- m=
ml2
(III.18)
b/ Mômen quán tính của hình trụ đặc đối với đường sinh của nó :
Công thức (III.11) cho ta mômen quán tính của hình trụ đặc đối với trục đi qua khối tâm của nó :
IG =
mR2
Nếu gọi I là mômen quán tính của hình trụ đặc đối với trục trùng với đường sinh của nó, thì theo (III.17) ta có :
I = IG + mR2 =
mR2 + mR2 =
mR2
(III.19)
Trong trường hợp này khoảng cách giữa hai trục là bán kính R của đáy hình trụ.